Kurt Gödel

Deutsche (und Welt-)Mathematik im frühen 1900

Alonso Martínez Cisneros

Freie Universität Berlin

Grundlagenkrise der Mathematik

Georg Cantor (🇷🇺/🇩🇪), Gottlob Frege (🇩🇪), Bertrand Russell (🇬🇧)

  • Antinomien in Mathematik gefunden

David Hilbert (🇩🇪)

  • Deutsche Mathematiker David Hilbert suchte nach einer Lösung

  • Das Hilberprogramm:

    • Mathematik als formales System neu definieren
    • Vollständigkeit des Systems
    • Konsistenz
    • Entscheidungsproblem

Das Programm wurde von Gödel getötet

Kurt Gödel

  • Geboren am 28.Apr.1906
  • Schlechten Gesundheitszustand als kind
  • Im 1924 zog er nach Wien
  • Theoretische Physik an der Uni Wien
  • Wiener Kreis besucher (wie Ludwig Wittgenstein)
  • Dissertation “Über die Vollständigkeit des Logikkalküls”

Kurt Gödel 🇦🇹/🇺🇸 (1925)

  • Gödel und Nimbursky heirateten im Jahr 1938

  • Anschluss Österreichs \(\to\) Gödel floh nach Princeton

  • 1942 lernte Gödel Albert Einstein.

  • Gödel hatte Paranoia

  • Gödel starb an Unterernährung und Entkräftung 1981

Gödelscher Unvollständigkeitssatz

  • Sei \(\mathcal{L}\) eine sprache (symbolen wie “+”, “*“, zahlen)
    • Mächtigkeit
    • \(\mathcal{L}\) hast Aussagen mit einer gewissen Syntax.
    • \(\mathcal{L}\) hast auch eine Menge von Schlussregeln (inference rules)
  • Sei \(A\) eine Menge von Axiomen (aufzählbare)
  • Zusammen mit \(\mathcal{L}\) und \(A\) macht ein System (oder Theorie) \(T\).

Erster Unvollständigkeitssatz

Sei T eine hinreichend mächtige theorie. Dann existiert eine Aussagen \(\sigma\) so dass \(T \not\vdash \sigma\) & \(T \not\vdash \neg \sigma\)

„Jedes hinreichend mächtige, rekursiv aufzählbare formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.“

Zweiter Unvollständigkeitssatz

Sei \(T\) eine hinreichend mächtige theorie. Dann, \(T \not\vdash \operatorname{Const}(T)\).

„Jedes hinreichend mächtige konsistente formale System kann die eigene Konsistenz nicht beweisen.“

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Gödel